Серия «Математика, такая математика. »

Приветствую всех любителей математики.

Предположим, что есть полоска бумаги, с расположенными в ряд клетками.
Пусть, для начала, количество клеток 12.
Берём вилку, у которой два зуба, с "дыркой" между зубьями h=1 (такой вилкой можно проколоть, например, клетки 1 и 3 или 4 и 6, т.е. между клеток с проколами окажется целая клетка) и проходимся с ней по полоске с клетками. При этом необходимо соблюдать условие - между дырками - соседними "ударами" вилки - должно быть две целых клетки (интервал равен 2)
Потом этой же вилкой проходимся второй раз по этой же полоске, но с интервалом 4.
При этом пытаемся расположить удары вилок так, чтобы было проколото наибольшее количество клеток, т.е. первый удар вилкой мы можем делать в любом месте, а последующие - с обозначенным интервалом вправо (и влево, если это необходимо).

Теперь возьмём новую полоску, на которой 20 клеток.
И пройдёмся по ней вилкой с первыми условиями. Но теперь добавим ещё одну вилку, у которой два зуба, с дыркой h=3 и пройдёмся по полоске так же два раза с интервалами 6 и 8 соответственно для каждого раза. Так же, как и прежде, пытаемся расположить удары всех вилок так, чтобы было проколото наибольшее количество клеток, т.е. первый удар вилкой при очередном проходе мы можем делать в любом месте, а последующие - с обозначенным интервалом вправо (и влево, если это необходимо).

По следующей полоске, на которой 28 клеток, проходятся уже три вилки (каждая по два раза) с "дырками" 1,3 и 5 с интервалами 2 и 4, 6 и 8, 10 и 12 (соответственно). Так же, стараемся проколоть наибольшее количество клеток.

Если для последующих полосок мы будем соблюдать те же условия:
- увеличиваем количество клеток на полоске на 8
- увеличиваем количество вилок на одну
- увеличиваем дырку на новой вилке на 2
- проходимся каждой вилкой два раза
- увеличиваем интервалы на 4 (от интервалов последней вилки)
То какие из утверждений будут верны:
1. невозможно проколоть все клетки на любой полоске
2. начиная с некоторой полоски все последующие могут быть проколоты полностью
3. при любом увеличении полоски, среди полностью проколотых, найдётся такая, которую невозможно проколоть полностью.

Ну что, будем пробовать нарезать и прокалывать полоски ?
Удачи в решении !

Приветствую всех любителей математики.
Этот пост создан с целью ознакомления читателей с моими выводами и выявления ошибок, если они есть.
Это будет небольшой трактат о распределении простых чисел, я бы даже сказал, о структуре распределения простых чисел. Думаю, настало время поделиться тем, к чему я пришёл в результате своих исследований. Вынужден признать, что математику я знаю плохо, поэтому текст, да и изложение подходов будет попахивать дилетантщиной. Ну, что имеем.
Я попробую рассказать «деревенским» языком, как именно можно подойти к данному вопросу.
Итак, распределение простых чисел.
1. Введение.
К пониманию того, как распределены простые числа среди других натуральных я пришел примерно год назад, но не сразу осознал, что подобный подход имеет место быть, охватывает все без исключения простые числа и, возможно,  может быть использован не только для поиска простых чисел, их групп и скоплений, но и для решения других задач математики.  Думаю, и не только математики, но и физики, химии, биологии и т.д.
Распределение простых чисел заинтересовало меня в результате их поиска и попытке выведения общей или частной формулы. Оказалось, что проблема эта давняя, подходы к ней предпринимались и предпринимаются постоянно и некоторые выводы, точные и примерные, были сделаны. Между тем, чёткой структуры до сих пор не было описано. А мой подход хорош именно тем, что точно описывает саму структуру проявления всех простых чисел. Настоящий метод довольно прост в описании (относительно, конечно), поэтому мне невольно приходили мысли, почему до этого не додумались раньше. Очевидно, что тут дело в ошибочных подходах, неких многовековых стереотипах, которые не позволяли посмотреть другим взглядом на данную проблему. В том числе и аспекты, которые не были прежде рассмотрены или рассмотрены не в должной степени и без связи с другими процессами.*
Во-первых, мы привыкли к выражению  (и внутреннему восприятию), что простые числа – это некие «строительные камни» для всех остальных чисел.
Во-вторых, мы смотрим на простые числа как на некую общность и пытаемся делать выводы.
Ну и третье – я не встречал (возможно, потому, что совсем мало сталкиваюсь с математикой) задач и работ с пересечением множеств определенного вида. Надеюсь, далее я смогу подробнее об этом рассказать.
2. Волшебное изменение простого числа.
Не помню, кто сказал примерно такое выражение: «Простые числа – это строительный материал, основа, камни из которых строятся все остальные числа и здание математики». Мы привыкли так думать. Но представьте такую ситуацию – мы возьмем все простые числа в интервале от 1 до 100 и попытаемся помощью любой комбинации произведений этих простых чисел заполнить, скажем, интервал от 101 до 200. Да, некоторые числа от 101 до 200 мы сможем заполнить, но останутся некоторые «дырки», которые невозможно представить в виде произведения простых чисел от 1 до 100.
Так вот эти «дырки» и есть простые числа, которые расположены на интервале от 101 до 200. В некотором смысле простые числа и есть «дырки», которые невозможно описать в виде произведения меньших простых чисел.
Самое поразительное, что как только образуется такая «дырка», в тот же момент она становится строительным материалом для других чисел – она «становится» простым числом.
Это немного странное представление, ведь числа существуют вне нашего восприятия и исследования, но уж как есть.
3. Разделение простых. Числа вида S=6n-1.
Следующий шаг, который необходимо описать – это важность разделения простых чисел. Мы привыкли воспринимать все простые числа в виде некой общности, пытаемся раскрыть их свойства и натыкаемся на подобие хаоса в распределении простых чисел. Есть даже интригующие исследования, например, чисел-близнецов.
Но я пришел к идее (здесь помог случай), что для понимания структуры распределения простых чисел необходимо разделить их на две группы: простые числа, которые принадлежат к числам вида 6n-1  и простые числа, которые принадлежат к числам вида 6n+1. Как раз к этим различным группам принадлежат близнецы в одной паре.
Итак, представим все простые числа в виде двух бесконечных групп:
- простые числа, которые принадлежат к числам вида S= 6n-1
- простые числа, которые принадлежат к числам вида S= 6n+1
Для дальнейшего анализа рассмотрим сначала только числа вида S=6n-1, где n – натуральные числа (числа вида  6n+1 имеют аналогичную, но чуть более сложную структуру распределения).
Если мы представим значение n в виде точек на числовой оси, где  n принимает целые положительные значения от единицы до бесконечности, то при некоторых n числа вида S=6n-1 будут  простыми числами, а при других  n  - составные.
На графике отмечены числа n, при которых S=6n-1 будут составными:

Обратим внимание именно на те значения n, при которых S=6n-1 являются составными.
Пока ничего не понятно. Но видно, что при n = 1, 2, 3, 4, 5 все числа вида S=6n-1 будут простыми. А вот при n=6 число S=6*6-1=35 будет являться составным и оно делится на минимальный делитель 5. Можно также увидеть, что если мы возьмем  n = 5*k +1, где k – целое число больше 0, то все числа вида S= 6n-1 ,будут составными, делящимися на 5.
Отмечу на числовой оси только эти n, при которых числа вида S=6n-1 делятся на 5, но для того, чтобы было понятно последующее объяснение, приподниму эти точки над осью х:

Далее, найдём среди оставшихся, не учтённых еще n такое, при котором число вида S=6n-1 является составным. Это n равно 13, а число S=6*13-1=77.
При этом число S=77 делится на 7 и 11. Далее будет видно, что для чисел вида S=6n-1 можно пропустить делитель 7 и сразу перейти к делителю 11. Отмечу на графике все точки n, при которых числа вида S=6n-1 будут делиться на 11 и также приподниму их над числовой осью для наглядности, но выше, чем прежние точки.

Таким же образом поступлю далее и построю  все точки n, при которых числа вида S=6n-1 будут делиться на 17,23,29,35,41,…

Не обращайте внимания на 35, т.к. нам эти точки не помешают, а обратите внимание на то, что нет необходимости выделять отдельно точки n при которых числа вида S=6n-1 делятся на 7,13,19,…т.к. эти точки нами уже учтены.
Снова вернемся  к графику только тех точек n, при которых числа вида S=6n-1 делятся на 5. Что мы видим? Приведу такое сравнение: словно стрелял плохой стрелок и попадал только в каждую пятую мишень, начиная с номера шесть (где попадания – образуют составные, а промахи – простые числа).
Можно сказать так – все попадания представляют множество чисел, которые можно выразить как 5х+1, где х принимают значения 1,2,3,4,…
Но нас ведь интересуют не те «мишени», в которые попал стрелок, а как раз те, в которые он не попал. Но не торопитесь…
Посмотрим на множество точек n, при которых числа вида S=6n-1 делятся на 11. Это тоже множество точек, по которым попал уже другой «стрелок» и он стрелял ещё хуже. Все его попадания можно описать как 11х+2, где х принимают значения 1,2,3,4,…
То же самое и со следующими «стрелками»: их «попадания» можно описать как 17х+3, 23х+4, 29х+5, 35х+6,… Или в общем виде (6m-1)x+m, где m  - номер «стрелка» принимает целые положительные значения больше 0.
Но вернемся к тому, что нас интересуют не попадания, а нас интересуют промахи – те «дырки», в которые не попали стрелки, а вернее, те мишени, в которые не попал ни один стрелок.
Вот пример того, в какие мишени не попали стрелки, если бы они попадали только в каждую третью и каждую пятую мишень соответственно:

Как же это выяснить ? Похожая  задача была мной описана в посте:
Задача про плохих стрелков
Если мы сравним все множества «мишеней», в которые стрелки не попадают, то будет заметно, что они похожи между собой, но отличаются «Толщиной» - размером непрерывной группы не пробитых мишеней.  И чтобы решить задачу о плохих стрелках, я придумал такую запись, которая описывала  бы множество всех мишеней, по которым не попал ни один стрелок и использовал для этого понятие интервальной переменной Т(индекс i) ( T – толщина, размер непрерывной группы, i – размер непрерывной группы) (извините за такое моё изобретение) и решил  поставленную задачу следующим образом:
Решение задачи про плохих стрелков. Формула пересечения множеств
Но дело в том, что своё первое «попадание» первый стрелок совершает  только по мишени номер 6, второй стрелок по мишени номер 13, третий по мишени номер 20  и т.д. Получается, что в интервале от 1 до 5 включительно, никакой «стрелок» не проявлял себя. В интервале от 6 до 12 включительно, проявляет себя только первый «стрелок», в интервале от 13 до 19 включительно два первых стрелка, в интервале n  от 20 до 26 включительно три первых «стрелка» и т.д.

Получается, что пересечение определенного количества множеств описанного вида (с интервальной переменной) на определенном интервале выявляет все n, при которых числа вида S=6n-1 будут простыми. Вот теперь можно говорить о структуре распределения простых среди чисел вида S=6n-1. Это именно структура, которую можно подвергнуть анализу и сделать соответствующие выводы. И начать нужно с анализа свойств пересечения «множеств с интервальной переменной»: образование элементов, групп элементов, «координаты» элементов и групп и т.д. (некоторые решения я выполнил).

Также, можно определить так называемый «статус простоты» для чисел вида S=6n-1

Оставлю здесь же полный график распределения чисел n, где видно наклонные линии:

4. А вот числа  вида S=6n+1 распределены по-другому, хоть и, в некоторой степени, аналогично числам вида S=6n-1. Могу сразу сказать, что структура их распределения немного сложнее: пересекаются большее количество множеств с неравномерными интервалами.
Представлю вам несколько полных графиков, которые составлены по тому же принципу, что и для чисел вида S=6n+1.

Соответственно, можно определить «статус простоты» и для чисел вида S=6n+1:

Исходя из статуса простоты, я пытался определить плотность простых чисел среди всех натуральных. Часть этих попыток озвучены задачами
Помогите с преобразованием
и Задача о заводе и продукции

5. Структура хаоса.
Структура распределения простых чисел подчиняется представленной мной схеме, которая вполне элементарна для описания, но сам результат распределения выглядит непонятно и  даже пугающе. Виной тому постоянные наслоения различных множеств и сваленные в общую кучу распределения для чисел вида S=6n-1 и S=6n+1.
Глядя на результат, не зная структуры распределения простых чисел, кажется, что это просто хаос, хотя в нём и угадываются намеки на какие-то закономерности.
И именно в этом я вижу главное возможное достоинство данной структуры: описание различных хаотических процессов.
А это уже не только математика - это физика, химия, биология и т.д. - те области знаний, где может быть необходимо описание «хаоса».  Но это уже задача для более умных людей, чем я.

*anahronizm 
дата: 2 мая 2025 года

Спасибо всем, кто попытался понять мои рассуждения.

п.с. Так как я это всё придумал сам, то поставлю тег "моё". Извиняюсь за любые ошибки в тексте. В школьном аттестате  по Русскому языку у меня только четверка, а по алгебре и геометрии вообще тройки, так что…
Но решение задачи с корзинами я, всё-таки, нашёл.

п.п.с. Вот теперь можете кидать в меня камни.