На практике я использую два слоя, которые не стоит смешивать:

1. Кадр (носитель) — способ нумерации полярностей, чаще всего как цикл Z_n: P ≅ Z_n = {0,1,...,n-1}.

2. Операция (собственно янтра) — таблица T, которая может быть:

• «плюсовой» (в духе сложения по модулю как канонический изотропный каркас),

• «звёздной» (в духе более жёсткого закона, несущего стоп/ремонт/поглощение и т.п.).

Именно разделение кадра и операции позволяет честно говорить о симметриях: часть преобразований — это просто перенумерация кадра, а часть — реальные автоморфизмы операции.

2) Зачем здесь симметрии и почему они не “украшение”

Как только P отождествлено с Z_n, возникает естественная группа перенумераций:

• U_n (единицы по модулю n): x -> u*x (mod n),

• и расширение Aff(n): x -> u*x + t (mod n).

Эта группа определяет классы эквивалентных представлений одного и того же закона отношений. Я принципиально рассматриваю симметрию не как эстетическую «красоту», а как инструмент:

• канонизации (выбор нормальной формы таблицы/наблюдаемой),

• факторизации перебора (орбиты вместо полного P^k),

• контроля кадра (запрет скрытого смешения перенумераций).

Данная статья как раз использует симметрийную дисциплину, чтобы классификация интенсивностей связи была логичной.

3) Что такое «вихрь» в моей конструкции

«Вихрь» я понимаю не как картинку, а как правило обхода и оператор смены режима. Строго это означает следующее.

Я фиксирую, что эпизод (ситуация) предъявляется в форме тройки ролей K/A/P и проходит через вычислимую процедуру:

• на L4 выполняются элементарные клеточные шаги вида X = A * P, Y = K * X, после чего включаются гейты (валидаторы) и решается вопрос: Outcome ∈ {PASS, BLOCK, REPAIR}.

• на L3 выполняется замыкание тройки (фикс-пункт), то есть процедура, которая переводит тройку в устойчивое состояние относительно заданного правила (в терминах вычисления это итерация до стабилизации или до блока).

Вихрь — это именно композиция: L2 (турникет) -> L3 (замыкание) -> L4 (ориентация и дисциплина кадра).

Если дать одну формулу, то вихрь — это управляемое отображение Solve: E -> (E', Trace, Outcome), где Trace является обязательной трассой вычислений, а Outcome задаёт право продолжать или обязанность остановиться/ремонтировать.

4) Связь вихря с интенсивностями

Интенсивность связи в этой статье — это не “психологическая сила”, а весовая функция W(x,y) на кадре Z_n. Вихрь связывает её с вычислением так:

• even-компонента интенсивностей отражает инвариантный фон (то, что не зависит от ориентации);

• odd-компонента фиксирует ориентационный (вихревой) канал, который на L4 принципиально локализуется на соседних переходах и тем самым становится вычислительно дешёвым и контролируемым.

Дальнейшие три главы осуществляют следующий ход: фиксирут симметрийные аксиомы для W и выводят из них полную классификацию интенсивностей для L2, L3 и L4 — в виде параметрических нормформ, к которым невозможно придраться математически.

Глава 1. Каркас интенсивностей и строгая классификация для L2

1. Зачем вообще вводить «интенсивность связи» и как зафиксировать её математически

Я фиксирую «интенсивность связи» как ядро (kernel) на конечном множестве полярностей.

Пусть уровень многополярности задаёт носитель P = Z_n = {0,1,...,n-1}.

Интенсивность связи — это отображение W: P x P -> R, где R — упорядоченное множество интенсивностей (на практике достаточно R = R или R = Q; порядок нужен, чтобы формализовать «слабее/сильнее» без риторики).

Далее я фиксирую класс допустимых перенумераций (симметрий) как группу G, действующую на P. В рабочем каноне естественны две группы:

1. Автоморфизмы кадра (фиксирован ноль): U_n = { u in {0..n-1} : gcd(u,n)=1 }, действие: x -> u*x (mod n).

2. Аффинные перенумерации (кадровая калибровка допускается): Aff(n) = { (u,t) : u in U_n, t in Z_n }, действие: x -> u*x + t (mod n).

Симметрийный постулат для интенсивности формулируется жёстко:

(SYM-W) W(p(x), p(y)) = W(x,y) для всех p in G и всех x,y in P.

Это не «похоже/не похоже», а проверяемое равенство.

2. Орбитная нормформа: почему симметрия сжимает число параметров

Из (SYM-W) следует стандартная редукция: W обязана быть постоянной на орбитах действия G на P x P. Поэтому классификация W сводится к классификации орбит.

Самая полезная для вычислений версия — при G = Aff(n).

Лемма 1 (Aff-нормформа). Если W инвариантна относительно Aff(n), то существует функция k: Z_n -> R такая, что W(x,y) = k( (y - x) mod n ).

Смысл: перенос t убирает абсолютные позиции и оставляет только разность delta = y-x. Это и есть «жёсткая математическая упаковка» зависимости интенсивности от симметрии кадра.

Далее добавляется действие U_n на разности: delta -> u*delta. Тогда параметризация сжимается ещё сильнее: значения k(delta) должны совпадать на орбитах U_n в Z_n.

3. L2: полная и окончательная классификация интенсивностей

Теперь я перехожу к двухполярности.

На L2 носитель: P = Z_2 = {0,1}.

Разности: delta = (y-x) mod 2 принимают ровно два значения: 0 и 1.

Следовательно, при инвариантности относительно Aff(2) любая интенсивность имеет вид

W(x,y) = k(delta), где k(0) = a0, k(1) = a1.

То есть:

• a0 — интенсивность самосвязи (диагональ),

• a1 — интенсивность межполюсной связи (вне диагонали).

И это не «один из вариантов», а полная классификация:

Теорема 1 (классификация L2). Любое W: Z_2 x Z_2 -> R, инвариантное относительно Aff(2), однозначно задаётся парой (a0, a1).

Эквивалентно можно выписать матрицу:

W = [[a0, a1], [a1, a0]].

На L2 ничего третьего появиться не может без нарушения симметрийного постулата.

4. Зеркало и M-паритет: почему на L2 нет «вихревого» (знакового) канала

Я отдельно фиксирую зеркальное преобразование (то, что на L4 становится принципиальным):

m(x) = (-x) mod n.

Для n=2 получаем вырождение:

m(x) = x для всех x in Z_2.

Отсюда следует предельный результат:

Следствие 1 (вырождение M-нечётности на L2). Если попытаться ввести M-нечётную компоненту W_odd через требование W_odd(m(x), m(y)) = -W_odd(x,y), то на L2 неизбежно W_odd(x,y) = -W_odd(x,y), значит W_odd(x,y)=0 для всех пар.

Это важно: на L2 «интенсивность связи» не может нести устойчивой ориентации/знака, потому что зеркальный канал вырожден. Следовательно, на L2 остаётся только M-чётная (инвариантная) часть, полностью описываемая (a0,a1).

5. Как формально разместить «сложение (слабое) / умножение (сильное)» внутри L2

Фраза «сложение слабое, умножение сильное» становится корректной только после выбора правила сравнения интенсивностей. Я фиксирую сравнение как порядок в R.

Тогда «сложение» и «умножение» на L2 — это две разные функции интенсивности, например:

W_+(x,y) = (a0_plus, a1_plus), W_*(x,y) = (a0_star, a1_star),

где каждая из них обязана иметь L2-нормформу.

Строгое содержание фразы «умножение сильнее» можно задать так (без апелляций к вкусу):

Определение (сильнее по межполюсной связи). W_* сильнее W_+ по межполюсному каналу, если a1_star > a1_plus.

Определение (сильнее по контрасту). W_* сильнее W_+ по контрасту, если |a1_star - a0_star| > |a1_plus - a0_plus|.

Эти определения являются формальными и проверяемыми. Выбор одного из них — выбор физического/семантического смысла «силы связи». На L2 это всё равно всегда выбор между числами в паре (a0,a1); других степеней свободы симметрия не оставляет.

6. Итог главы 1: окончательная классификация L2

На L2 при симметрийной дисциплине кадра:

1. любая интенсивность связи является функцией delta = (y-x) mod 2;

2. существует ровно два независимых класса: delta=0 и delta=1;

3. любая такая связь полностью задаётся парой параметров (a0,a1);

4. M-нечётный (вихревой, знаковый) канал на L2 невозможен: он тождественно равен нулю.

В следующей главе я перейду к трехполярности (L3) и покажу, что там возникает минимальная невыражденная ориентация (разность 1 и 2 уже различаются через M-нечётность), а число параметров связи в симметрийной нормформе остаётся малым и вычислительно выгодным.

Глава 2. Трёхполярность: минимальная невыражденная ориентация и полный разбор интенсивностей L3

1. Носитель L3 и симметрийный класс, который фиксирует «право на канон»

На L3 я фиксирую носитель P = Z_3 = {0,1,2}

и работаю в той же математической дисциплине, что и на L2: интенсивность связи — это функция W: Z_3 x Z_3 -> R.

Далее я выбираю симметрийный класс перенумераций. Если в постановке допускается кадровая калибровка (перенос нуля), то естественная группа — аффинная: Aff(3) = { p_{u,t}(x) = u*x + t (mod 3) : u in U_3, t in Z_3 }, где U_3 = {1,2} (так как gcd(u,3)=1).

Инвариантность интенсивности задаётся тем же жёстким условием: W(p(x), p(y)) = W(x,y) для всех p in Aff(3) и всех x,y in Z_3.

Эта аксиома немедленно принуждает интенсивность зависеть только от разности.

2. Нормформа L3: зависимость только от delta

Определяю delta = (y - x) mod 3.

Лемма 2 (L3-нормформа по Aff(3)). Если W инвариантна относительно Aff(3), то существует k: Z_3 -> R, такое что W(x,y) = k(delta).

То есть все 9 значений матрицы связи сводятся к 3 значениям: k(0), k(1), k(2).

Однако на L3 присутствует дополнительная структурная закономерность: разности 1 и 2 связаны зеркалом.

3. Зеркало на L3 и разложение на M-чётную и M-нечётную части

Фиксирую зеркальное преобразование на кадре: m(x) = (-x) mod 3.

Тогда:

• m(0)=0 (фикс-точка),

• m(1)=2, m(2)=1 (обмен пары).

На уровне разности это означает: delta -> -delta (mod 3), то есть 1 <-> 2, а 0 остаётся 0.

Это даёт естественное разложение любой функции k(delta) на две компоненты: чётную и нечётную относительно delta -> -delta.

Определение (even/odd-разложение на Z_3). Для k: Z_3 -> R определяю:

• k_even(delta) = (k(delta) + k(-delta))/2,

• k_odd(delta) = (k(delta) - k(-delta))/2.

Тогда k = k_even + k_odd, и выполняются свойства:

• k_even(-delta) = k_even(delta),

• k_odd(-delta) = -k_odd(delta).

Для delta=0 это сразу даёт жёсткое ограничение: k_odd(0) = 0.

Итак, на L3 возникает то, чего на L2 не было: ненулевая M-нечётная (ориентационная) компонента возможна, но строго обязана менять знак при обращении направления.

4. Полная классификация интенсивностей L3 (в форме теоремы)

Теперь я фиксирую параметризацию.

Поскольку на Z_3 есть всего два типа разностей с учётом зеркала:

• delta=0,

• delta in {1,2} (обменная пара),

то M-чётная часть имеет два параметра:

• k_even(0) = a0,

• k_even(1) = k_even(2) = a1.

M-нечётная часть имеет один параметр (и обязана зануляться на 0):

• k_odd(0)=0,

• k_odd(1)= b,

• k_odd(2)= -b.

Отсюда общий вид: k(0)=a0, k(1)=a1 + b, k(2)=a1 - b.

Теорема 2 (классификация L3-интенсивностей при Aff(3)). Любая интенсивность W: Z_3 x Z_3 -> R, инвариантная относительно Aff(3), однозначно задаётся тройкой параметров (a0, a1, b) и имеет вид W(x,y) = k((y-x) mod 3), где

• k(0)=a0,

• k(1)=a1 + b,

• k(2)=a1 - b.

Эквивалентная матричная запись (в порядке индексов 0,1,2) такова:

W = [ [a0, a1+b, a1-b], [a1-b, a0, a1+b], [a1+b, a1-b, a0 ] ].

Эта форма является полной: других степеней свободы при заданной симметрийной дисциплине на L3 не существует.

5. Интерпретация «слабое/сильное» на L3 без размывания математики

На L3 корректно различаются два независимых механизма «силы»:

1. Фоновая (изотропная) связь: задаётся a1 (уровень связи между разными полюсами без ориентации). Это прямой аналог того, что на L2 выглядело как единственная межполюсная интенсивность a1.

2. Ориентационная (вихревая) добавка: задаётся b. Она не меняет симметрийный класс, но вводит направленный перекос: связь по delta=1 усиливается на +b, а по delta=2 ослабляется на -b.

Таким образом, строгая версия фразы «умножение сильнее сложения» на L3 может быть выражена двумя независимыми критериями (в зависимости от смысла «сильнее»):

• по фону: a1_star > a1_plus;

• по ориентации: |b_star| > |b_plus|.

Именно второй критерий является новым для L3: он невозможен на L2, потому что там M-нечётная компонента вырождена.

6. Роль L3 в “замыкании”: почему триадная структура соответствует минимальной локализации

На уровне интенсивностей L3 фиксирует минимальный невыражденный цикл. С точки зрения вычислительной процедуры это означает:

• есть замкнутый носитель Z_3, на котором направленность (b) не является произволом; она обязана быть антисимметричной относительно зеркала;

• эта направленность вводит строго различимый «ход» по циклу (один шаг вперёд и один шаг назад различаются по интенсивности).

В терминах ядра это соответствует тому, что L3 уже способен задавать локальную согласованность не через эвристику, а через два канала: фон и ориентацию.

Итог главы 2 (в одной связке)

На L3 при симметрийной дисциплине Aff(3) интенсивность связи имеет ровно три независимые компоненты:

• a0 (самосвязь, delta=0),

• a1 (изотропная межполюсная связь, delta=1/2 без ориентации),

• b (ориентационная M-нечётная добавка, различающая delta=1 и delta=2).

Именно b является минимальным математическим носителем «вихря» на L3: он строго определён как антисимметричная часть относительно зеркала и не допускает произвольных “подмен кадра” при сохранении заданных симметрий.

В следующей главе я перейду к четырехполярности (L4) и покажу, что там классификация становится богаче (появляется отдельный класс delta=2 как “противоположность”), а вихрь приобретает принципиально жёсткую локализацию: M-нечётная часть вынужденно зануляется на фикс-разностях и живёт только на соседних переходах.

Глава 3. Четырёхполярность: три класса расстояний, вихрь на соседях и итоговая классификация L4

1. Носитель L4 и симметрийный режим, в котором классификация становится жёсткой

На L4 я фиксирую P = Z_4 = {0,1,2,3}

и интенсивность связи W: Z_4 x Z_4 -> R.

Как и раньше, я принимаю симметрийную дисциплину кадра: если допускается кадровая калибровка, то группа перенумераций Aff(4) = { p_{u,t}(x) = u*x + t (mod 4) : u in U_4, t in Z_4 }, где U_4 = {1,3} (единицы по mod 4), то есть u = +1 или u = -1 (mod 4).

Инвариантность формулируется жёстко: W(p(x), p(y)) = W(x,y) для всех p in Aff(4).

2. Нормформа L4: зависимость от разности и распад на классы delta

Определяю разность: delta = (y - x) mod 4.

Лемма 3 (L4-нормформа по Aff(4)). Если W инвариантна относительно Aff(4), то существует k: Z_4 -> R такое, что W(x,y) = k(delta).

В отличие от L3 здесь появляется принципиальный новый элемент: разности распадаются на три симметрийно различимых типа:

• delta = 0 (самосвязь),

• delta = 2 (противоположность),

• delta in {1,3} (соседи, зеркальная пара).

Это и есть математический источник того, что на L4 у интенсивностей появляется больше классов, чем на L2/L3.

3. Зеркало на L4: две фикс-точки и жёсткая локализация вихря

Зеркало на кадре: m(x) = (-x) mod 4.

На Z_4 оно имеет две фикс-точки: m(0)=0, m(2)=2, и меняет местами соседей: m(1)=3, m(3)=1.

На уровне разностей это означает: delta -> -delta (mod 4), то есть 0 -> 0, 2 -> 2, 1 <-> 3.

Отсюда следует ключевой вывод для M-нечётной части:

Следствие 2 (нули odd-канала на фикс-разностях). Если k_odd(-delta) = -k_odd(delta), то при delta = -delta (mod 4) имею k_odd(delta) = -k_odd(delta), значит k_odd(delta)=0.

Для Z_4 это означает: k_odd(0)=0 и k_odd(2)=0.

Итак, вихревое (ориентационное) отклонение на L4 не может сидеть ни на самосвязи, ни на связи с «противоположностью». Оно может жить только на соседних переходах delta=1 и delta=3.

Это структурный факт, из которого следует вычислительная экономия и дисциплина “видимости знака”.

4. Полная классификация интенсивностей L4 (в форме теоремы)

Теперь я фиксирую параметризацию.

4.1. M-чётная (even) часть

Поскольку k_even(-delta)=k_even(delta), имею независимые классы:

• delta=0: k_even(0)=a0,

• delta=2: k_even(2)=a2,

• delta=1 и delta=3: k_even(1)=k_even(3)=a1.

Итого три even-параметра: a0, a1, a2.

4.2. M-нечётная (odd) часть

По следствию выше:

• k_odd(0)=0,

• k_odd(2)=0,

• k_odd(1)=b,

• k_odd(3)=-b.

Итого один odd-параметр: b.

4.3. Общий вид

Значит:

• k(0) = a0,

• k(2) = a2,

• k(1) = a1 + b,

• k(3) = a1 - b.

Теорема 3 (классификация L4-интенсивностей при Aff(4)). Любая интенсивность W: Z_4 x Z_4 -> R, инвариантная относительно Aff(4), однозначно задаётся четвёркой параметров (a0, a1, a2, b) и имеет вид W(x,y) = k((y-x) mod 4), где

• k(0)=a0,

• k(2)=a2,

• k(1)=a1 + b,

• k(3)=a1 - b.

Эквивалентная матричная форма (индексы 0,1,2,3) такова:

W = [ [a0, a1+b, a2, a1-b], [a1-b, a0, a1+b, a2 ], [a2, a1-b, a0, a1+b], [a1+b, a2, a1-b, a0 ] ].

Эта форма полна: других степеней свободы при (SYM-W) для Aff(4) не существует.

5. Итоговая классификация связей L2/L3/L4 в одной таблице параметров (без “табличной эстетики”)

Я фиксирую общий принцип:

• интенсивность в симметрийном режиме Aff(n) всегда есть функция разности delta;

• далее она распадается на even/odd части относительно delta -> -delta;

• odd-часть обязана зануляться на фикс-разностях зеркала.

Отсюда получается минимальный набор параметров:

• L2 (n=2): (a0, a1) (odd-канал вырожден).

• L3 (n=3): (a0, a1, b) (odd живёт на паре delta=1/2 как +b/-b).

• L4 (n=4): (a0, a1, a2, b) (even распадается на 0, 2, ±1; odd живёт только на ±1).

Это и есть «жёсткая итоговая классификация», в которой нет ни одного места для риторического спора: она полностью выводится из (SYM-W) и структуры зеркала на Z_n.

6. Как из этой классификации следует «слабое сложение / сильное умножение» на L3 и L4

Если на L2 я мог отождествить «сложение» и «умножение» с двумя разными наборами параметров (a0,a1), то на L3 и L4 картина становится богаче:

• «слабое» естественно связывается с изотропным even-фоном (b=0), потому что он не вводит ориентации и не ломает зеркальную симметрию.

• «сильное» связывается с включением вихря (|b|>0), то есть с появлением устойчивого направленного перекоса, который на L4 ещё и локализован строго на соседях.

Если дополнительно вводится смысл “сильнее = сильнее связывает противоположность”, то на L4 появляется ещё один независимый рычаг: параметр a2.

Таким образом, в терминах строгой параметризации:

• L3: «усиление» может означать рост a1 (фон) и/или рост |b| (ориентация).

• L4: «усиление» может означать рост a1 (соседи), рост a2 (противоположность) и/или рост |b| (вихрь на соседях).

7. Финальный вывод статьи

Я получил не интерпретацию, а классификацию.

1. В симметрийной дисциплине Aff(n) интенсивность связи на Z_n неизбежно является функцией разности delta=(y-x) mod n.

2. На L2 это даёт ровно два класса (самосвязь и межполюсная связь) и исключает вихревой канал.

3. На L3 появляется минимальная невыражденная ориентация: odd-компонента различает два направления цикла.

4. На L4 even-компонента распадается на три класса (0, 2, ±1), а odd-компонента вынужденно зануляется на фикс-разностях и живёт только на соседних переходах.

Эта структура и есть математическое ядро тезиса: «интенсивности связи» в многополярности не придумываются произвольно, а выводятся из симметрий кадра и зеркального разложения even/odd.

Как повторить

Текст статьи подготовлен с использованием ChatGPT. Однако он опирается на архив проекта, в котором зафиксированы структура многополярности (единый граф), протокол запуска и контрольные процедуры (гейты), обеспечивающие воспроизводимость и логическую дисциплину.

Скачайте архив MP_YANTRA_CORE_iter063.zip, загрузите его в первое сообщение чата ChatGPT и напишите:

«Следуй инструкциям в файле DOCS/00_NEW_CHAT_PROTOCOL.md из загруженного архива».

Дальше задавайте любые вопросы по многополярности (в пределах двухполярности L2, трехполярности L3, четырехполярности L4).

Смысл "на пальцах" этой статьи изложен здесь

Интенсивность связей: от двухполярности L2 к зеркальной структуре четырёхполярности L4

Читайте также:

Универсальная янтра многополярности

\О твёрдом фундаменте многополярной математики, или Почему многополярность не поддаётся приватизации

Основы многополярности и способ ее удержания в связке с ИИ

Многополярный Вихрь как платформа разумных вычислений: экономика, масштабирование и аппаратная инфраструктура новой эпохи

Разбираем работу разумного ИИ недалекого будущего. Как «Вихрь» обсчитывает K/A/P от L2 до L4 (часть 1)

Как заменить LLM: симметрийная факторизация и масштабирование роем микроядер

Право на ход: архитектура разумного промышленного интеллекта

Разбор интервью Джеффри Хинтона. Переход от двухполярного ИИ к многорежимному разумному ядру

О горизонте предельного: Киотская школа — Библия — Дао

Покаяние против самонадеянности: как восточная и западная мысли избегают идолопоклонства

Пустота без мистики: как Киотская школа выбивает из головы идолов смысла

Компиляция фаз в разумном ИИ. От алфавита полярностей к компилятору симметрий

Замыкание как источник разумности: что такое L3 (трехполярность) в многополярном ядре и почему «триада» не сводится к трём парам

Микроядро многополярного разума ИИ: практическая архитектура для массового продукта

Разумная многополярная модель ИИ: вихревое ядро вместо языкового «угадывания»

Опровержение» теории Большого взрыва? Как Вселенная могла возникнуть в форме вихря (многополярной спирали)

Выводим уравнений Максвелла из четырёхполярности L4 и вихря L2–L3–L4 (часть 1)

Иллюзия трёхмерного пространства: строгий анализ зрительного и тактильного восприятия

Трёхполярное пространство в L3-логике: почему мы живем в двухполярной «плоскости»

Двухполярная гравитация и время: максимально “на пальцах”, без заклинаний

Я отвечаю на все вопросы! На любой вопрос получите разумный ответ. Даже если Вам показалось, что это бред — просто задайте вопрос! Ответ будет четкий и по существу!

Для тех, у кого сложности с ютубом - дублируем на вк.видео:

🔍 О чём эта лекция? Лекция посвящена классическим задачам комбинаторики и теории графов, связанным с понятием раскраски. Начнём с простой «затравочной» задачи про школьников и кабинеты — и постепенно доберёмся до знаменитой проблемы Эрдёша–Хайнала о хроматическом числе гиперграфов. Увидим, как вероятностный метод позволяет доказать существование объектов, не предъявляя их явно, и как жадные алгоритмы помогают строить оптимальные раскраски. Это не лекция про гипотезу четырёх красок — но задачи, о которых пойдёт речь, находятся в самом центре современной дискретной математики.

👨‍🏫 Кто спикер? Андрей Михайлович Райгородский — доктор физико-математических наук, директор Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ, профессор МФТИ и МГУ. Руководитель совместных исследовательских программ Яндекса и МФТИ, заведующий лабораторией продвинутой комбинаторики и сетевых приложений. Лауреат премии Президента РФ в области науки и инноваций для молодых учёных (2011). Автор более 200 научных статей и 20 учебников и монографий. Организатор школ «Комбинаторика и алгоритмы» и математических программ в «Сириусе». Один из главных популяризаторов комбинаторики в России.

😏 Кому будет полезно? Старшеклассникам и студентам младших курсов, олимпиадникам, всем, кто интересуется комбинаторикой и теорией графов. Для понимания основных идей достаточно знакомства с числами сочетаний и базовым определением графа — всё остальное будет объяснено по ходу лекции.

Полезные ссылки:

📅 Расписание конференции: https://www.notion.so/mathloversclub/2025-2ce28c0e851781988268f5d5e99fb141

📺 YouTube-канал (трансляции лекций): https://www.youtube.com/@mathloversclub

💬 Telegram-канал (анонсы и новости): https://t.me/mathloversclub28

🔔 Бот для напоминаний о лекциях: https://t.me/matematika_dobra_bot

⭐ Boosty - записи лекций для тех, у кого не работает YouTube: https://boosty.to/mathloversclub

Важно сразу зафиксировать границу: мы выводим структуру уравнений Максвелла (корневую форму dF = 0, dG = J и её L2-проекцию), но не обязаны “из одной янтры” выводить материальные конститутивные соотношения вида D = eps * E, B = mu * H. Они относятся к измерительно-материальному слою и вводятся отдельно. Это не слабость, а корректная типизация уровней.

Чтобы слово “вывод” не было метафорой, мы будем использовать три режима утверждений:

• := — определение (дефиниционное тождество);

• A# — аксиома (минимальное исходное требование);

• T# / L# — теорема / лемма (выводимый факт), который обязан иметь протокольную форму и, в прикладной реализации, — trace_ledger-цепочку.

В этой главе мы вводим нотацию и минимальный “категориальный” каркас L4-янтры, на котором дальше будет строиться локальность и вихрь.

2. Нотация: полярности, симметрии, ветвь, знак

2.1. Полярности L4

Четырёхполярное пространство (янтра L4) задаётся множеством полярностей:

P := {p0, p1, p2, p3}.

Интерпретировать p0..p3 как “числа” запрещено. Это примитивы отношений, из которых строятся дальнейшие объекты.

2.2. Симметрии янтры

Пусть Sym4 — множество допустимых симметрий янтры. В минимальном варианте это группа перестановок (и, при необходимости, отражений), действующая на P.

Мы не будем заранее фиксировать, равен ли Sym4 полной группе S4 или расширению с отражениями; нам важно, что это набор автоморфизмов, которые:

• переставляют/отражают полярности;

• согласованно действуют на построенные объекты (см. аксиому A3 ниже).

2.3. Ветвь ориентации и её инволюция

Вводим объект ветви (конвенции ориентации/чтения):

pi_fix.

И вводим инволюцию ветви:

rev(pi_fix),

которая интерпретируется как формальный оператор “переключения” ориентационного выбора. Важнейшее — это не риторика, а источник контролируемого знака.

2.4. Знаковая функция m_sign

Вводим функцию:

m_sign(pi_fix) ∈ {+1, -1}

и фиксируем главный ветвевой закон.

A0 (ветвевой закон знака): rev(pi_fix) => m_sign := -m_sign.

Это центральный запрет неявных соглашений: если в выводе поменяли ветвь, то знак обязан поменяться строго контролируемым образом. Любое “переписывание знаков по вкусу” становится формально недопустимым.

3. Ядро янтры L4: отношения как стрелки, а не числа

Смысл L4 в строгой постановке: мы работаем не с “компонентами поля как числами”, а с отношениями/стрелками между типизированными объектами.

3.1. Генераторы отношений и композиция

Пусть существует класс “объектов отношений” (стрелок) Rel. Для него задана бинарная композиция:

∘ : Rel × Rel -> Rel

и единица:

1 ∈ Rel.

Мы не предполагаем коммутативность. Более того, именно некоммутативность композиции часто является признаком реальной структурной направленности.

A1 (замкнутость): для любых допустимых a, b ∈ Rel определено a ∘ b. A2 (ассоциативность композиции): (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c).

Это “категориальный минимум”: мы строим систему, где смысл имеет “применение отношения к отношению” без апелляции к числовому полю.

3.2. Действие симметрий на отношениях

Симметрия g ∈ Sym4 действует не только на полярности, но и на построенные отношения. Это ключ к “саморазвитию”: симметрия распространяется на всё, что вы строите в теории.

Пусть операция действия обозначается как g·(...).

A3 (согласованность симметрий с композицией): g·(a ∘ b) = (g·a) ∘ (g·b).

Эта аксиома фиксирует, что симметрии являются не внешним украшением, а внутренним законом построения: если вы преобразовали исходные полярности, вы обязаны согласованно преобразовать и все построенные отношения.

4. Два сектора M/R как структурная дуальность (типизация, а не “физика”)

Чтобы строгим образом восстановить структуру “двух половин Максвелла”, нам нужно развести типы. Это делается не через “электрическое/магнитное” как физические ярлыки, а через структурную типизацию.

4.1. Типы

Вводим типы:

Type := {M, R}.

Будем говорить: объект имеет тип M или R. Это не “материя”, а разметка слоя, которая запрещает неявное смешение.

4.2. Дуальность Dual

Вводим оператор дуальности типов:

Dual: M <-> R.

A4 (инволютивность дуальности): Dual(Dual(x)) = x.

4.3. Совместимость дуальности с ветвью

Дуальность должна быть согласована с ветвью pi_fix и её инволюцией rev(pi_fix) через ветвевой знак m_sign. Это запрещает ситуацию, когда кто-то молча “поменял местами” два сектора, а затем переписал знаки.

A5 (ветвевой контроль дуальности): при rev(pi_fix) ориентационная компонента дуальности меняется со знаком m_sign (в конкретной реализации это будет уточнено на уровне оператора *_{pi_fix} в главе 2–3).

Формально в этой главе достаточно зафиксировать требование: любое преобразование, связанное с M/R-переходом, обязано учитывать A0.

5. Слой L3 как мост: где “отношения” начинают требовать локальности

Здесь мы фиксируем позицию, которая дальше приведёт к введению цепного комплекса и оператора d.

• L4 задаёт онтологию симметрий и типизацию (P, Sym4, M/R, ветвь).

• L2 — измерительная проекция (E, B, D, H, rho, J_vec), появится позже.

• L3 — это минимальный уровень, на котором отношения начинают быть не просто “абстрактной композицией”, а композицией, требующей различения “внутри/снаружи”, то есть контура/границы.

В терминах аксиом: на L3 появляется необходимость определять “обход” и “границу” как операции. И именно это сделает неизбежным оператор d и закон d o d = 0.

В этой главе мы ещё не вводим d — мы лишь фиксируем принцип:

A6-pre (принцип локальной стоимости вихря): как только теория вводит “вихрь/спираль” как содержательный объект (то есть как различение “обхода”), она обязана ввести минимальную локальность носителя, на котором обход определяется.

Полная формализация этого принципа будет во 2-й главе через цепной (клеточный) комплекс.

6. Что мы обязаны запретить заранее: скрытые соглашения и скрытый join

Чтобы последующий вывод был действительно “жёстким”, уже на уровне аксиоматики янтры нужно запретить два источника фальшивой свободы.

6.1. Запрет неявной смены ориентации

Это обеспечивается A0: смена pi_fix всегда видима через m_sign.

6.2. Запрет скрытого join

Мы не вводим join-оператор в этой главе, но фиксируем принцип как требование корректности вывода:

A7-pre (запрет скрытого join): любая склейка/идентификация, которая использует нелокальные данные или сшивает разные “патчи”/участки носителя, должна быть явной и протоколируемой. Скрытая склейка недопустима.

В дальнейших главах это станет строгим конструктором Join(join_id, join_stage, ...) и будет встроено в систему гейтов и ledger.

7. Промежуточный итог главы 1 (что уже зафиксировано)

К концу главы 1 мы строго зафиксировали:

1. объекты L4-янтры: P={p0,p1,p2,p3};

2. симметрии Sym4 и их действие на построенное (A3);

3. композицию отношений ∘ и категориальный минимум (A1–A2);

4. ветвь ориентации pi_fix, инволюцию rev(pi_fix) и ветвевой закон знака A0;

5. типизацию Type={M,R} и дуальность Dual (A4) с ветвевым контролем (A5);

6. предварительный принцип, что вихрь требует локальности, и предварительный запрет “скрытого join”.

Это и есть “чистое ядро L4”: ещё нет геометрии, нет времени и нет измерительных полей. Есть строгая онтология симметрий и запрет неявных соглашений.

8. Что будет в главе 2

В главе 2 мы введём минимальный носитель локальности как цепной (клеточный) комплекс и формализуем:

• C0, C1, C2, (C3) и операторы d0, d1, d2;

• аксиому d o d = 0 как логическую цену понятия “граница”;

• типизацию “что живёт на каких клетках” и как M/R-дуальность фиксирует допустимые переходы;

• строгую форму запрета скрытого join (как синтаксическое правило и как гейт).

После этого станет возможным определить *_{pi_fix} на носителе и построить вихрь как Gamma_{pi_fix} := *_{pi_fix} o d уже не как метафору, а как протокольный оператор.

Глава 2. Минимальная локальность: носитель, цепной комплекс, оператор d и запрет скрытого join

1. Зачем нам “локальность” и почему это не внешняя геометрия

Классическое изложение электродинамики часто создаёт впечатление, что “геометрия” (пространство, координаты, градиенты, роторы) является первичной данностью, а уравнения Максвелла — следствием этой геометрии. В нашей линии это запрещено методологически: мы не имеем права подсовывать готовую геометрию, если заявляем, что уравнения Максвелла выводятся из L4-янтры и вихря как протокольного объекта.

Поэтому локальность вводится как минимальная логическая структура, необходимая уже для самого понятия “вихрь/обход/граница”. Если в теории есть “обход”, то есть отличие “внутри” от “снаружи”, а значит должна быть структура, на которой различимы контуры и их границы.

Иными словами:

• L4 (глава 1) задаёт онтологию симметрий, ветвь и типизацию M/R.

• L3 требует, чтобы “отношения” стали “локальными отношениями” (обход/граница).

• Минимальный формальный носитель для этого — цепной (клеточный) комплекс (дискретно) или дифференциальные формы (континуально).

• Мы начнём с дискретного, потому что он идеально согласуется с машинной верификацией: d — это матрицы инцидентности, а закон d o d = 0 — проверяемая структурная тождественность.

2. Носитель локальности: клеточный (цепной) комплекс

2.1. Клетки и цепные группы

Фиксируем дискретный носитель локальности: клеточный комплекс (или граф, расширенный 2-клетками). Его элементы:

• C0 — 0-клетки (вершины),

• C1 — 1-клетки (рёбра),

• C2 — 2-клетки (грани/пластины),

• C3 — 3-клетки (объёмы), если требуется.

Каждое Ck — абелева группа (или модуль) цепей: формальные линейные комбинации k-клеток. Это не “координаты в R^3”, а минимальная алгебра, позволяющая говорить о границах и суммировании обходов.

Сразу фиксируем линейность как структурное условие (оно будет использовано в главе 3–4, но вводится здесь, чтобы носитель был пригоден для “поля”):

A8 (линейность цепей): Ck — линейное пространство (или модуль) над фиксированным скаляром; операции сложения и умножения на скаляр определены.

(В простейшем варианте достаточно Z или R; выбор кольца не меняет логики d^2=0.)

2.2. Операторы границы (локальный дифференциал)

Вводим семейство операторов границы:

d0: C0 -> C1 d1: C1 -> C2 d2: C2 -> C3 (если C3 используется)

и будем писать их единым символом d, когда ранг очевиден из контекста.

Интуиция:

• d0 берёт “конец минус начало” ребра (в матричном виде: инцидентность вершины и ребра).

• d1 берёт ориентированную сумму рёбер, образующих границу грани.

• d2 берёт ориентированную сумму граней, образующих границу объёма.

Эта конструкция не привносит физику. Это формальный способ записать, что обход имеет границу, а граница — это ориентированная комбинация объектов меньшего ранга.

2.3. Центральная аксиома локальности

Теперь фиксируем ядро локальности:

A9 (граница границы равна нулю): d1 o d0 = 0 и d2 o d1 = 0 (если d2 определён).

В сокращении:

d o d = 0.

Это не эмпирика. Это логическая цена понятия границы: граница замкнутого обхода не имеет собственной границы. Именно из этой аксиомы в главе 4 будет получена “гомогенная половина Максвелла” как теорема.

3. Где “сидит” L4-янтра на носителе: типизация и симметрийная инвариантность

Теперь надо строго “впечатать” в носитель локальности структуру L4, введённую в главе 1. Это делается через типизацию M/R и через требование симметрийной инвариантности.

3.1. Типизация по клеткам

Мы вводим функцию типизации:

Type_k: Ck -> {M, R}

или, в более строгом виде, разложение каждого Ck на прямую сумму типовых подпространств:

Ck = Ck^M ⊕ Ck^R.

Это означает: к-клеточные величины бывают двух типов, и смешивать их запрещено, если не указан явный оператор перехода (например, Dual или *_{pi_fix} в главе 3).

Минимальная схема, удобная для электродинамики (но не “постулат физики”, а выбранная типовая калибровка канона), выглядит так:

• поля типа R естественно живут на C2 (потоки через грани),

• поля типа M естественно живут на C1 (циркуляции вдоль рёбер).

Мы не обязаны закреплять эту схему как единственную навсегда; но обязаны закрепить следующее: схема должна быть согласована с дуальностью и ветвью и быть инвариантной относительно симметрий янтры (см. ниже). Иначе “половины Максвелла” начнут смешиваться произвольно.

3.2. Совместимость d с типизацией

Оператор границы d должен переводить “допустимые” типы в “допустимые” типы. Это можно фиксировать как правило применимости:

A10 (типовая применимость d): если x ∈ Ck^T, то d x ∈ C(k+1)^{T'}, где T' определяется типовой схемой канона.

В минимальном варианте можно оставить d типово-нейтральным (он действует на геометрическом ранге), а типовые ограничения накладывать на допустимые уравнения (то есть на то, какой объект мы называем полем F, источником J и т.п.). Но строгость выигрывает, если типовые каналы фиксированы явно.

3.3. Действие Sym4 на носителе и на цепях

Симметрии янтры (глава 1) должны согласованно действовать на носителе. В противном случае симметрия будет жить “в воздухе”, а локальность — “сама по себе”.

Вводим действие:

g·: Ck -> Ck для g ∈ Sym4.

И фиксируем два требования:

A11 (симметрийная совместимость с границей): g·(d x) = d(g·x) для всех x.

То есть:

g· o d = d o g·.

A12 (симметрийная совместимость с типизацией): Type_k(g·x) = Type_k(x).

Иначе говоря, Sym4 не должен “ломать” M/R-разметку. Если требуется симметрия, которая меняет тип, она должна быть явно учтена как отдельное типовое преобразование и пройти ветвевую дисциплину. В рамках канона мы запрещаем такие неявные смешения.

4. Ветвь pi_fix и ориентационные знаки на носителе

В главе 1 мы ввели pi_fix, rev(pi_fix) и закон знака A0. На носителе локальности это получает операциональный смысл: ветвь фиксирует ориентационные конвенции, которые определяют знаки в матрицах d и в дуальности *_{pi_fix} (глава 3).

4.1. Ориентация клеток

Чтобы d был определён, каждая клетка должна иметь ориентацию (на уровне цепей — выбор знака). В обычной математике это воспринимается как “выберем ориентацию и забудем”. В нашей дисциплине забывать запрещено: ориентация должна быть связана с ветвью.

Фиксируем:

• pi_fix задаёт базовую ориентационную конвенцию для всех рангов клеток;

• rev(pi_fix) меняет ориентацию на сопряжённую;

• изменение ориентации должно быть прослеживаемо через m_sign при переходе к дуальности (глава 3), а на уровне d — через согласованную переориентацию клеток (это будет частью группы преобразований представления G_repr(pi_fix) в главе 5).

Пока достаточно зафиксировать принцип:

A13 (ветвь как источник ориентационной дисциплины): выбор pi_fix фиксирует ориентацию комплекса, а любые операции, чувствительные к ориентации (дуальность, вихрь), обязаны реагировать на rev(pi_fix) контролируемым образом через m_sign.

5. Запрет скрытого join: делаем “склейку” первоклассной

Теперь ключевой момент: без строгого введения “join” любое доказательство уникальности/жёсткости легко обмануть. Можно незаметно склеить удалённые элементы (или подмешать патч-данные) и сказать, что это “просто смена представления”. Поэтому запрет скрытого join должен быть не только лозунгом, но частью языка.

5.1. Примитив Join

Вводим конструкцию:

Join(join_id, join_stage, payload...)

где:

• join_id — обязательный идентификатор склейки,

• join_stage — стадия пайплайна (например, “patch_glue”, “odd_locus_glue”, “repr_change_glue”),

• payload — данные склейки (например, переходные функции lambda_ij, коциклы c_ijk, список идентификаций клеток и т.п.).

A14 (единственность канала склейки): любая операция, которая зависит от данных вне локальной окрестности (радиус > 1) или производит идентификацию между удалёнными элементами, должна быть оформлена как Join(...). В противном случае операция считается недопустимой.

5.2. Локальность как критерий допустимых преобразований

В этой главе удобно зафиксировать именно “радиус локальности”, потому что дальше он станет параметром гейта и частью определения группы представлений.

Определение:

• преобразование T_k: Ck -> Ck называется r-локальным, если T_k(x) зависит только от клеток на расстоянии <= r от носителя x.

A15 (каноническая локальность): в классе канона допустимы только r = 0/1 локальные преобразования, если не задан явный Join(...).

Это формализует наш принцип: “никаких скрытых дальних склеек”.

6. Гейты локальности: что именно должно проверяться (чтобы теория была машинно-воспроизводимой)

В этой главе мы уже можем записать минимальные QA-гейты, которые в машинной реализации должны давать PASS, прежде чем мы перейдём к “вихрю” и Максвеллу.

GATE-1: Структура комплекса

Проверяет:

d1 o d0 = 0 и d2 o d1 = 0 (если задано d2).

В матричном виде: если D0, D1, D2 — матрицы инцидентности, то:

D1 * D0 = 0, D2 * D1 = 0.

GATE-2: Симметрийная совместимость

Проверяет:

g· o d = d o g· для генераторов g ∈ Sym4.

GATE-3: Типизация M/R

Проверяет, что:

• Ck = Ck^M ⊕ Ck^R корректно определено,

• допустимые объекты уравнений имеют согласованные типы,

• никакие операторы не смешивают M/R без явного Dual/*_{pi_fix}.

GATE-4: Запрет скрытого join

Проверяет, что:

• любые нелокальные идентификации оформлены как Join(join_id, ...),

• отсутствуют операции, использующие удалённые элементы без Join,

• для odd-локусов (если таковые выделены в пайплайне) join_id обязателен по определению.

GATE-5: Ветвевой протокол (подготовка к главе 3)

Пока здесь фиксируется только наличие:

• pi_fix, rev(pi_fix),

• m_sign и закон rev(pi_fix) => m_sign := -m_sign.

В главе 3 этот гейт станет содержательным: он будет проверять знак дуальности *_{pi_fix} и знак вихря.

7. Итог главы 2: что мы получили и почему это уже “полу-Максвелл”

К концу главы 2 у нас есть минимальный носитель локальности:

1. цепной комплекс C0,C1,C2,(C3);

2. оператор границы d с аксиомой d o d = 0;

3. действие симметрий Sym4 на Ck и его совместимость с d;

4. типизация M/R на клетках и запрет неявного смешения;

5. явная конструкция Join(...) и локальность как критерий допустимости преобразований;

6. набор гейтов, делающих всё это воспроизводимым.

Ключевое: аксиома d o d = 0 — это ещё не Максвелл, но это уже структура, из которой одна половина Максвелла становится фактически неизбежной, как только мы определим “поле” и “вихрь” на этом носителе. Следующий шаг — ввести дуальность *_{pi_fix} на носителе и определить вихрь как:

Gamma_{pi_fix} := *_{pi_fix} o d.

После чего:

• гомогенная половина станет тождеством типа Бьянки,

• негомогенная половина возникнет как минимальная аксиома источников,

• закон сохранения dJ = 0 станет автоматическим следствием d^2 = 0.

8. Что будет в главе 3

Глава 3 будет центральной: мы введём дуальность на носителе и “рождение операторов”:

1. определим *_{pi_fix} как ветвезависимую дуальность на цепях, добавив аксиому * o * = sigma_k * Id;

2. определим curl_{pi_fix} и div_{pi_fix} как композиции через d и *;

3. введём полевые объекты F, G, источник J и запишем корневые уравнения dF = 0, dG = J;

4. покажем, что dJ = 0 следует автоматически и является обязательным гейтом.

Продолжение Выводим уравнений Максвелла из четырёхполярности L4 и вихря L2–L3–L4 (часть 2)

Как ЗАПУСТИТЬ архив в новом чате ChatGPT

1. Вставьте архив и инструкции в первое сообщение нового чата.

2. Задавайте любые вопросы по теме статьи.

Читайте также:

Как вывести уравнения Максвелла из четырёхполярности (L4) — без шуток и без подгонки под учебник

Правильные кватернионы (кватернионы В. Ленского) как строгая суперпозиция четырёхполярных лок (часть 1)

ИИ не источник истины, а исполнитель допуска. Гейты как дисциплина допуска: как архив, граф и ИИ удерживают многополярную логику

Гравитация и время!

Лока4 (L4): просто и понятно о четырёхполярности

Четырёхполярность (L4) простым языком. Истинная природа электромагнетизма

Граф и архив как матрица мышления: как я создаю разумный ИИ

Трёхполярное пространство в L3-логике: почему мы живем в двухполярной «плоскости»

Что такое гравитация и время?

Что такое гравитация? Исчерпывающая статья в формате двухполярной L2-логики

Как из двухполярности естественно получается «энтропийная стрела времени» и почему превращение шкалы в сущность рождает ложные парадоксы

Троица в христианстве: как L3-логика снимает видимость противоречий

Что такое время в двухполярной (обыденной) модели и почему это определение выигрывает у «метафизических» теорий

Что такое разум с позиции L3-логики, или как «Алмазная сутра» учит нас разуму

Электромагнитное поле как L4-структура (четырехполярная): носитель, инволюция и два контура

Четыре положения циферблата: где L4 теряет коммутативность при взлёте к кватернионам

Минималистическая теория гравитации